<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"> </script> <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [["$","$"],["\\(","\\)"]] }, "HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true, width: "container" } } }); </script> </head> <body> <p> When <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn> </math>, there are two solutions to <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi><mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> and they are <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <msqrt> <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn><mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext>.</mtext> </math> </p> </body> </html>
<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"> </script> <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [["$","$"],["\\(","\\)"]] }, "HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true, width: "container" } } }); </script> </head> <body> <p> When <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:math xmlns:mml="https://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="https://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>R</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>2</mml:mtext></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>=</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>=</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>x</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>α</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>W</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>β</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>Z</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>γ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>τ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>t</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>μ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>k</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>ω</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>m</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>φ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>ψ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>j</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>=</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>x</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>α</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>W</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>β</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>Z</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>γ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>τ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>t</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>μ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>k</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>ω</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>m</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>φ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>+</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>cov</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mtext>ψ</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">^</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>j</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>var</mml:mtext></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>y</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>i,k,q</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>(</mml:mtext><mml:mtext>2</mml:mtext><mml:mtext>)</mml:mtext></mml:math> </math>, there are two solutions to <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi><mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> and they are <math xmlns="https://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <msqrt> <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn><mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext>.</mtext> </math> </p> </body> </html>
We use cookies to provide and improve our services. By using our site, you consent to our Cookies Policy. Accept Learn more